计 数（考试常备的计数八大方法）
计数（顾名思义就是数数，数出一共有多少种情况）
常考方法有：
1两个原理（加法原理、乘法原理）
2乘方
3定义法（排列、组合）
4枚举法
5捆绑法
6插空法
7隔板法
8除序法
（一）加法原理、乘法原理
例1：一个班上共有3组，一组20人、二组10人、三组15人
1) 选1人做班长有多少种？（分类计数用加法20+10+15=45种）
2) 每组选1人做组长，有多少种？（分步计算用乘法20*10*15）
3) 选2人发言，2人不能在同一组里？（20*10+20*15+10*15）
什么时候用乘法，什么时候用加法？
当一个事件发生，这件事已经完成，不能同时发生另一种情况时用加法（例如班长只能选一人，当从一组里选1人之后，整个事件就完成了，所以用加法）；当一个事件发生，整个事件还没有完成时用乘法（例如选组长，一组选组长共有20种情况，但是一组选完组长整个事件并没有结束，二组、三组也需要选组长，因此用乘法）
（二）乘方（也就是乘法原理的特殊形式）
例1：5人参加4项比赛
1) 每个人可以参加多项，每项只能1人参加，则有多少种方法？
每项比赛有5种选法，所以5*5*5*5=54
2） 每人只能参加1项比赛，每项可多人参加，则有多少种方法？
每个人有4种选择，所以4*4*4*4*4=45
Ps：这是甲乙两种事物作配对的题型，甲乙两方中，一方能重复、一方不能重复，所以答案为：（能重复）（不能重复）
例2: 20名男嘉宾，10名女嘉宾
1）每名男士只能选1位女士，每个女士可选多名男士，则有多少种方法？
每名男士有10种选法，则20名男士有1020种方法
（能重复的女士不能重复的男士）
2）每名男士可以选多名女士，每名女士只能选1名男士，则有多少种方法？
每名女士有20种选法，则10名女士有2010种方法
（能重复的男士不能重复的女士）
例3： 5个不同球放4个不同盒子，每个盒子可放多个球，则有多少种方法？
每个球有4种选择，则为4*4*4*4*4=45
（一个球不能同时放两个盒子，所以球不重复；每个盒子可放多个球，盒子可重复。能重复的盒子不能重复的球）
（三）定义法
排列：从n个不同元素中，任意取出m个元素，将这m个元素按一定顺序排成一列
例1：从50个人中选出4人做语文、数学、英语、物理课的课代表，共有多少种方法？
A504（50个不同的人中选出4个不同的人，且选出的4个人要求有顺序，所以用排列）
例2： 4个人排一排照相，共有多少种不同排法？
A44（4个不同人中选出4个不同的人，且选出的4个人要求有顺序）
例3： 从4个人中选出两个人排一排拍照有多少种不同的排法？
A42（从4个不同的人中选出2个不同的人，且选出的2个人要求有顺序）
组合：从n个不同元素中，任意取出m个元素并为一组，这m个元素没有顺序要求
例1：圆上有10个点，以这些点为顶点总共能作几个圆内接三角形？
C103（从10个不同点中选出3个，这3个点没有顺序要求）
例2： 某聚会上，10名与会者都与其他与会者握了一次手，则总共握手次数？
C102(从10个不同人中选出2个人，且选出的2个人没有顺序要求)
例3：从6位候选人中选出2人担任班委，有多少种选法？
C62(从6个不同人中选出2个不同人，选出的2个人没有顺序要求)
Ps：排列组合都是从不同的元素中选择不同的元素，但排列要求选出的元素有顺序要求，组合则没有顺序要求。
（四）枚举法（一个个列出来），经常会用到加法原理、乘法原理
当看了1分钟仍然不知道该用什么方法时，就用枚举法（一个个数吧）
例1：甲乙丙丁4位经理轮流值班4个部门，自己经理不值自己部门，共有多少种排班方法？
甲 乙 丙 丁（4个部门）
乙 甲 丁 丙
乙 丙 丁 甲
乙 丁 甲 丙
乙放在甲部门共有3种情况，同理丙、丁也可放在甲部门，则共有3*3=9种
例2：甲、乙两人进行5局3胜制比赛，甲能战胜乙的情况有多少种？
分析：可分为3种情况：甲乙两人比了3局、4局、5局
1 2 3 4 5
胜 胜 胜 （比了3局1种）
胜 （比了4局，第4局甲一定要胜，从前3局中选一局输就可以，所以C31共3种）
胜（比了5局，第5局甲一定要胜，从前4局中选两局输就可以，所以C42共6种）
分类计算用加法：一共有1+3+6=10种
（五）捆绑法（即题目中要求某几个元素在一起）
例1: 5男4女排成一排，4女必须相邻，则有多少种不同排法？
A44*A66
先排相邻的4个女的A44，在把4个女的看成一个整体和其他5个男的一起排，所以再乘一个A66
例2： 5男4女排成一排，5男排在一起，4女排在一起，则有多少种不同排法？
A55*A44*A22
先排相邻的5男A55，再排相邻的4个女的A44，再把俩捆男女看成两个整体再排A22，分布计算用乘法
例3: 3个3口之家一起看演出，他们购买了同一排的9张连座票，则每一家的人都坐在一起的不同坐法有？
（A33）4
（题目要求每个家庭的人坐在一起，所以先看家庭内部，3个人坐在3个不同的位置A33，3个家庭都是所以（A33）3，三个家庭之间也要求顺序所以再乘一个A33）
Ps：看到题目中要求几个元素必须在一起时就要想到“捆绑法”，要求某几个元素在一起，就先排这几个元素，再把这几个元素看成一个整体和其他的元素一起排
（六）插空法
例1: 5男4女排成一排，4女互不相邻，则有多少种排法？
A55*A64
先排5个男的A55，5个男的产生6个空隙，在这6个空隙中选出4这空隙把4个女的放进去，且要求4个女的有顺序，所以再乘一个A64
例2: 有排成一行的7个空座，让3位女生去坐，要求任意2个女生之间都要有空座，共有多少种不同的坐法？
A53
解析：3个女生4个空座一起排，要求任意2个女生之间都要有空座，即可让3个女生插入到4个空座旁边的5个空隙中，且要求这3个女生有顺序，所以：A53
Ps：当遇到“不相邻”问题时就要想到“插空法”：将各不相邻的元素插到可以相邻元素旁边的空隙中。
（七）隔板法
例1：把10颗相同的糖分给3个小朋友，要求每个小朋友至少分到1颗，则共有多少种不同的分配方法？
C92
10颗不同的糖之间共有9个空隙，从中选2个空放隔板（2个隔板一样、没有顺序要求），所以是C92
例2：将7万块钱分给甲乙丙3个人，每人至少1万，则有多少种分法？
C62
7万块钱中间有6个空，从这6个不同的空中选2个空放隔板，所以C62
例3: 10万块钱分给甲乙丙3人，每人至少2万，有多少种分法？
C62
先一人分1万，还剩7万，就变成共有7万块钱，每人至少1万（即例2）
例4：共10万块钱分给甲乙丙3人，每人分的钱不确定，则有多少种分法？
C122
从甲乙丙每人的头上一人借1万，一共变成13万，题目就变成共有13万块钱分给
甲乙丙3人，每人至少分1万，所以C122
Ps: 当分配的元素相同，像例1中的糖、例2、3、4中的钱，且每个分配对象至少1个时用“隔板法”
“隔板法”和“插空法”区别：1 隔板法的空隙不包括两侧，插空法的空隙包括两侧 2 隔板法要求所分配的东西相同、没有区别，插空法则没有要求 3 一般分配相同东西时用“隔板法”，求不相邻问题时用“插空法”
(八) 除序法
例1： 将6人分成3、3两组，有多少种方法
C63/A22
C63本身是有顺序的。例如：将1、2、3、4、5、6分成两组，第一组选1、2、3第二组选4、5、6 和第一组选4、5、6 第二组选1、2、3 在C63看来是不同的，而对于分成两组来说是相同的，所以要把前后的顺序除掉，即除以相同人数的组数的阶乘（或者说是相同人数的组数的全排列）
例2：将8人分成2、2、4三组，有多少种方法
C82*C62/A22
例3：将12人分成五组，其中有三组2人，两组3人，共有多少种分法？
C122C102C82C63/A33A22
Ps：“除序法”也叫“分组法”，当遇到分组问题时一般要想到“除序法”。一旦用了乘法原理，就意味着有顺序，但分组并不要求顺序，所以要进行除序。
1）甲、乙两事物配对，一方能重复、一方不能重复（乘方）
2）题目中要求某几个元素相邻（捆绑法）
3）题目中要求某几个元素不相邻（插空法）
4）相同的东西分给不同的人，且每人至少一个（隔板法）
5）分组，且有人数相同的组（除序法）
6）从n个不同元素中选出m个不同元素（m个元素不要求顺序）（组合）
7）从n个不同元素中选出m个不同元素（m个元素要求有顺序）（排列）
8）一道题看了1分钟仍然不知道用什么方法（枚举法，一个个列出来）
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